Chez un fleuriste

Milan, un fleuriste, a remarqué que \(9~\%\) des clients demandent une composition florale  nécessitant un temps de réalisation long. Le reste des clients achète une plante ou un bouquet déjà composé. Afin d'évaluer la pertinence d'embaucher un salarié pour réaliser les compositions florales, Milan envisage tous les scénarios possibles lorsque \(4\) clients se succèdent dans son magasin. Il note \(\text{S}\) l'événement « le client demande une composition florale » et dresse l'arbre suivant.

On note \(X\) le nombre de clients, parmi les quatre considérés, qui achètent une composition florale.

1. Expliquer pourquoi le choix de chacun des quatre clients peut être assimilé à une épreuve de Bernoulli et en donner le paramètre.

2. On cherche à déterminer la probabilité \(P(X=1)\). 
    a. Calculer la probabilité que seul le premier client sur les quatre achète une composition florale.
    b. À l'aide de l'arbre, déterminer le nombre de chemins qui mènent à un \(1\) succès, puis expliquer pourquoi la probabilité de chacun de ces chemins est celle calculée à la question précédente.
    c. En déduire la probabilité \(P(X=1)\).

3. Reprendre les questions précédentes afin de déterminer la probabilité \(P(X=2)\).

4. Compléter les phrases suivantes :

• Il y a ..... chemin(s) qui mène(nt) à \(0\) succès.
  
• Il y a ..... chemin(s) qui mène(nt) à \(1\) succès.
  
• Il y a ..... chemin(s) qui mène(nt) à \(2\) succès.
  
• Il y a ..... chemin(s) qui mène(nt) à \(3\) succès.
  
• Il y a ..... chemin(s) qui mène(nt) à \(4\) succès.
  

5. On note \(\dbinom{n}{k}\) et on lit « \(k\) parmi \(n\) » le nombre de chemins qui mènent à \(k\) succès dans un arbre représentant un schéma de Bernoulli avec \(n\) répétitions de la même épreuve de Bernoulli.

Préciser les nombres suivants : \(\dbinom{4}{0}\), \(\dbinom{4}{1}\), \(\dbinom{4}{2}\), \(\dbinom{4}{3}\) et \(\dbinom{4}{4}\). Quelles observations peut-on faire ?